推荐好书：《实变函数》张建平 丘京辉

sbhsl

人人都知道实变函数难学难懂。
学好实变函数的第一关键是选一本好的教材。
读一本好的教材就能够事半功倍。
强烈推荐：《实变函数》，张建平 丘京辉，东南大学出版社，2009年5月出版。
这是一本写得相当精练的实变函数教材，对理论体系作了精心合理的安排，对定理证明采用简洁易懂的方式，其中部分定理的证明是新颖独特的。
虽然全书篇幅不长，但是却包含了那些“大部头”实变函数专著的基本内容，而在不少方面（例如开集、闭集、函数的连续性、勒贝格积分与黎曼积分的关系等）比那些“大部头”专著讲得更为透彻。
该书还有一个特色：每一章还专门附有一节例题选讲，对很多典型题目给出简洁和新颖的证明。
该书既适合初学者作为教材或参考资料，也非常适合考研者作为复习资料。
相信你看了一定会说好。

[ 本帖最后由 sbhsl 于 2009-11-3 11:32 编辑 ]

sbhsl

北京大学周民强的《实变函数》是一本公认的好书，但是要读通这本书要化费极大的精力。
如果学习时间紧张，希望找一本写得精练的教材，那么看张建平丘京辉的《实变函数》会事半功倍。

举几个例子比较一下。
周民强书上的定理1.7（可列个可列集之并为可列集），证明要一定的篇幅，而该书给出的证明仅二行半（定理1.4.3）。
周民强书上的定理1.10（[0，1]不是可数集），证明要大半页，而该书给出的证明仅一行（定理1.5.3）。
周民强书上的定理1.1.7（Cantor闭集套定理），证明要一定的篇幅，并且读者自己还要补充某些细节的证明，而该书给出的证明仅三行（定理2.4.3），而读者不须再补充什么东西。
周民强书上的定理2.4（距离外测度性质），证明较长（还要先证明引理2.3），而该书给出的证明仅三行（命题3.4.8），且不需要引理。
在“点集间的距离”一节中，周民强先给出定理1.24及其证明，再给出推论1.26（无证明），若要给出推论1.26的证明，则要按照定理1.24的思路再来一次。而在该书中，先给出周书推论1.26的简洁证明（定理2.6.1），再把周书定理1.24作为其推论，这时理由是极为简单的，真的用不着写出来。

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周民强书定理1.27（连续延拓）的证明使用了下述命题。

若A和B是互不相交的非空闭集，则存在Rn上的连续函数f(x),满足条件：
（1）在A上,f(x)=0；（2）在B上,f(x)=1；（3）在其他地方，0<f(x)<1.

但是周民强书中，那两个构造出来的闭集不一定满足“非空”的条件！
再看看其他实变函数教材，绝大多数也是这样的传统证明。
似乎唯一的例外是中国科技大学徐森林的书，他为了修补这个漏洞，把原来的函数做上下“平移”，然后对新函数构造出来的闭集满足“非空”的条件。但是整个证明就变得相当复杂，化了整整两页。
而在张建平丘京辉的书中，使用一个小小的技巧修补了传统证明，既简洁又严谨。